참고문헌 : 금융수학개론 2판, 2018, 이재성, 청문각, 1-479p
브라운 운동부터는 A4용지에 연필로 적은 후 올리도록 하겠습니다.
교과서에서는 설명하고 있지 않은 부분들에 대한 증명 및 유도과정을 보이고 브라운 운동의 의미와 성질에 대해서 다루도록 하겠습니다.
시간이 될 때 라텍스(LATEX)로 다시 정리해서 올리도록 하겠습니다.. 언제가 될지는 모르겠습니다.
참고로 수리통계학에 관련된 내용의 표기법은 수리통계학(김우철 저)와 같게 표현했습니다.
1. 브라운 운동(Browian Motion)
본 장에서는 브라운 운동에 대해서 살펴보도록 한다. 브라운 운동은 다음 조건을 만족하는 연속시간 확률과정을 의미한다.
a) $B_{0}$ = 0 이며, $B_{t}(W)$1. 브라운 운동(Browian Motion)
본 장에서는 브라운 운동에 대해서 살펴보도록 한다. 브라운 운동은 다음 조건을 만족하는 연속시간 확률과정을 의미한다.
a) $B_{0}$ = 0 이며, $B_{t}(W)$는 시간 t에 대해 연속인 함수이다. 이 때, $B_{0}$ = 0이라는 의미는 브라운 운동이 원점에서 시작한다는 의미이다.
b) 임의의 s, t >= 0에 대해 $B_{t+s} - B_{t}$ ~ N(0, s)이다. 따라서, $B_{t}$ ~ N(0, t)인데 이는 $B_{t+0} - B_{0}$ ~ N(0, t)와 같다
c) $t_{1}$ < $t_{2}$ < .... < $t_{n}$에 대해 n개의 확률변수 $B_{t_1} - B_{t_0}$, $B_{t_2} - B_{t_1}$, .... $B_{t_n} - B_{t_n-1}$은 서로 독립이다. 즉 시간이 겹치지 않는 증분은 독립이다.
2. 브라운 운동의 성질
a) 마코프(Markov) 성질
브라운 운동의 조건 중에서 시간이 겹치지 않는 증분이면 독립이라고 하였다. 즉 u < s에 대해 $B_{u}$의 경로를 안다고 하더라도 $B_{t+s} - B_{s}$의 경로에는 아무런 영향도 미치지 않는 과거의 경로에 대해 독립적인 성질을 가지고 있다.
b) 마팅게일 성질
E[$B_{t+s}$|$I_{t}$] = E[$B_{t+s} - B_{t} + B_{t}$|$I_{t}$]
= E[$B_{t+s} - B_{t}$|$I_{t}$] + E[$B_{t}$ | $I_{t}$ ]
= E[$B_{t+s} - B_{t}$] + $B_{t}$
= $B_{t}$
c) 가우시안 과정
내용은 아래 그림과 같이 설명한다.
3. 독립정상증분 과정
모든 s < t와 h >0에 대해서 $X_{t} - X_{s}$ =$^d$ $X_{t+h} - X_{s+h}$를 만족시킬 때 {$X_{t}$}는 정상증분을 가지는 확률 과정이라고 한다. 즉 h 만큼 이동했을때 분포가 서로 같다는 의미이다.
한편, 임의의 $t_{1}$ < $t_{2}$ < .... < $t_{n}$에 대해 n개의 확률변수 $X_{t_1} - X_{t_0}$, $X_{t_2} - X_{t_1}$, .... $X_{t_n} - X_{t_n-1}$은 서로 독립인 확률변수가 될 때, {$X_{t}$}는 독립증분을 가지는 확률과정이라고 한다.
위의, 정상증과 독립증분을 모두 만족시키는 확률과정을 독립정상증분 과정이라고 하며, 대표적으로 랜덤워크과정, 브라운 운동이 있다.
4. 브라운 운동의 공분산
Claim : 0 <= s <= t 이면 COV($B_{s}, B_{t}$) = s
pf. COV($B_{s}, B_{t}$) = E[$B_{s}B_{t}$] - E[$B_{s}$]E[$B_{t}$]
= E[$B_{s}(B_{t}-B_{s}) + B_{s}^2$]
= E[$B_{s}$]E[$(B_{t}-B_{s}$] + E[$B_{s}^2$]
= E[$B_{s}^2$]
= Var[$\sqrt s$ $B_{1}$]
= s
따라서, 0 <= s, 0 <= t인 COV($B_{s}, B_{t}$) = min(s, t) 임을 쉽게 알 수 있다.
맨아래 사진에서 [참고]라고 적힌 부분은 표준정규분포에서 적률을 쉽게 구하는 공식이다 살펴보도록 하자.
