참고문헌 : 금융수학개론 2판, 2018, 이재성, 청문각, 1-479p
금융수학개론의 교과서와 표기법이 다른경우는 Notation으로 따로 표기하며
교과서에는 설명되지 않은 증명과정이 포함되어 있습니다.
수리통계학에 관련된 내용들은 따로 카테고리를 만들거나 본 카테고리에 금융수학에서 다루는 특정 분포 및 성질들을 다루도록 하겠습니다. 우선 본 금융수학과정에서는 수리통계학관련 내용은 다루지 않겠습니다.
1. Stochastic Process
확률과정(Stochastic Process)은 확률변수들의 집합으로서 나타낼 수 있다. 즉, {$X_{t} : t >= 0 $} 이며, 이 때 t는 고정된 시간 t를 의미한다.
흔히 확률과정 {$X_{t} : t >= 0 $}가 마르코프 과정(Markov process)을 따른다고 하는데 이는 확률변수의 과거의 움직임은 현재의 확률변수의 움직임에 전혀 영향을 주지 않는 것을 말한다. 일반적으로 금융이론에서 기초자산의 가격은 마르코프 과정을 따른다고 가정한다.
2. 조건부 기댓값과 마팅게일 과정
* Notation
$I_{t}$ : 과거시점부터 t 시점까지의 모든 정보들의 집합을 나타낸다. 즉 정보집합
Filtration : $I_{t} \subseteq I_{t+1} \subseteq I_{t+2}$ .... 시간 t가 경과함에 따라서 $I_{t}$는 커진다
E[$X_{s} | I_{u}$] : 정보집합 $I_{u}$ 아래에서의 $X_{s}$의 조건부 기댓값
E[$X_{s} | I_{0}$] : $X_{s}$ <- 정보집합이 0시점에서부터 시작하므로
0<s<u 인 경우에 있어 E[$X_{s} | I_{s}$] =$X_{s}$와 같은 경우를 마팅게일 과정(Martingle Process)이라고 한다. 한편, 주어진 s시점 기준으로 미래의 u시점까지의 정보를 얻는것이 불가능하므로 E[$X_{u} | I_{s}$]은 그 자체로 확률변수가 된다. 따라서. 조건부 기댓값의 정의에 의해 반복 기대값의 법칙(Law of iterated Expectations; tower property)가 성립한다.
*반복 기댓값 법칙(Tower property)
Claim : E[E[$X_{u} | I_{t}$] | $I_{s}$] = E[$X_{u} | I_{s}$] 단, 0 < s < u
case 1) 0 < t < s < u
E[E[$X_{u} | I_{t}$] | $I_{s}$] = E[$X_{u} | I_{s}$] 자명하다.
case 2) 0 < s < t < u
E[E[$X_{u} | I_{t}$] | $I_{s}$] = E[$X_{u} | I_{s}$] 자명하다
case 3) 0 < s < u < t
E[E[$X_{u} | I_{t}$] | $I_{s}$] = E[E[$(X_{u} - X_{t}) + X_{t} | I_{t}$]| $I_{s}$]
= E[E[$(X_{u} - X_{t}$ | $I_{t}$ + E[$X_{t}$ | $I_{t}$] | $I_{s}$]
= E[$X_{u} - X_{t}$] + E[$X_{t} | I_{s}$]
= E[$X_{u} - X_{t}$] + E[$(X_{t} - X_{s} + X_{s} | I_{s}$]
= E[$X_{u} - X_{t}$] + E[$(X_{t} - X_{s} | I_{s}$]+ E[$X_{s} | I_{s}$]
= E[$X_{u} - X_{s}$] + E[$X_{s}$ | $I_{s}$]
= E[$X_{u} - X_{s}$ | $I_{s}$] + E[$X_{s}$ | $I_{s}$]
= E[$X_{u} | I_{s}$]
3. 대칭랜덤워크 과정(Symmetric random walk process)
이번에는 대칭랜덤워크 과정에 대해서 살펴보고자 한다. 확률변수 $Z_{j}$를 다음과 같이 정의하자.
$Z_{j}$ ~ Bin(1, 1/2) 단, iid 가정을 따름
이 경우 $Z_{j}$는 베르누이분포를 따르기 때문에, E[$Z_{j}$] = 0 Var[$Z_{j}$] = 1 임을 쉽게 알 수 있다.
한편, x축을 시간(t)로 생각하고 y축을 확률변수 Z라고 생각해보자. 구간 [0, t]에서 임의의 시간 t까지 구간을 n번 나누어 주면 한 구간은 $t \over n$이 되고, 각각의 확률번수 $Z_{1}, Z_{2}, .... , Z_{t}$은 1로 상승하거나 -1로 하락하는 과정이 나타난다. 이러한 과정을 대칭 랜덤워크 과정이라고 한다.
이제, 고정된 t >0에 대하여 구간 [0, t]를 n 등분하고 확률번수 $W_{t}$를 다음과 같이 정의한다.
LET $W_{t}$ = $\sqrt {t \over n}$ $(Z_{1} + Z_{2} + .... +Z_{t})$
이 때, 각각의 $Z_{j}$는 독립이기 때문에 E[$W_{t}$] = 0, Var[$W_{t}$] = t가 성립한다.
여기서 흥미로운 사실은 등분하는 횟수와 무관하게 평균과 분산이 결정된다는 사실이다. 한편, 등분하는 횟수와 무관하게 다음과 같이 n이 커짐에 따라 $W_{t}$는 점점 더 작아지고 독립 확률변수들은 더해지게 된다.
$B_{t}$ = $\lim_{n \to \infty} W_t$라고 두게되면 중심극한정리(CLT)에 의해 $B_{t}$ ~ N(0, t)를 따르게 되고, 앞으로 $B_{t}$를 브라운 운동(Brown Motion)이라고 부른다.
또한, 임의의 s, t >0에 대해 $B_{t+s}$ - $B_{s}$ ~ N(0, t)가 성립하고 $B_{t+s}$ - $B_{s}$와 $B_{s}$는 서로 독립이다.
정리하면, 대칭 랜덤워크 과정에 극한을 취하여 연속시간 확률과정인 브라운 과정을 생성할 수 있다.!
